高斯函数曲线下的面积，为什么恰好等于圆周率的平方根？
视频内容简介：
设想一个函数 f(x)=e^{-x²}，图像像一座对称的钟形曲线。我们想求曲线与 x 轴之间的总面积，即把 f(x) 从 −∞ 积到 +∞。常见的变量替换或分部积分都无效，可结果竟是 √π。诀窍在于把同一个积分写两遍相乘得到 i²，再把它改写成二维形式 ∬e^{−(x²+y²)} dx dy。看到 x²+y²，就会想到以原点为圆心的圆，于是换用极坐标：x=r cos θ，y=r sin θ，此时面积元变为 r dr dθ。令 θ 从 0 到 2π，r 从 0 到 ∞，可得 2π ∫₀^∞ e^{−r²} r dr。再设 u=r²，du=2r dr，式子化成 π ∫₀^∞ e^{−u} du，结果是 π。于是 i²=π，推出 i=√π。这样，一条看似与圆毫无关系的指数曲线下方的面积，竟然暗藏圆周率。
本视频翻译自：
https://www.youtube.com/watch?v=WjLRvF9bi5E
立即观看
0