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【新闻联播精简版】2025年6月6日
本题问题比较简洁：证明存在n项正整数等差数列（公比非0），使得每项都是无平方因子数. 原则上来说构造出即可. 但事实上，本题构造非常困难，因为这样的数列可以任意有限长，却不能无限长. 几乎所有构造都有其局限性. 另外，本题因为其具体的“无平方因子数”，才勉强是个可做题. 如果改成一般的具有正密度的集合，将变成世界难题（Erdos和Turan的一个猜想，于1975年被Szemeredi证明.） 不过，通过尝试构造小情况，可能可以想到规避小素因子的办法：考虑k*m!+1形式的数. 在这些数当中再去估计无平方因子数的密度，就能够证明本题的结论了.当然，具体估计时，还是有很多逻辑细节需要处理清楚，这部分需要花时间去完成方法，完成细节步骤，最终完成题目的证明. 知识点：整除的性质、组合计数（包括计数的不等式）、数列求和与放缩估计、极限与量级关系. 方法：密度/计数估计.
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