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回答一位网友问的问题. 此题型并不是特别好处理. 二次型比较的不等式,如果有取等条件,往往会跟特征值或者最优比值有关系,这大概率涉及高等. 本题其实要求的结论并不算特别强,可能会有别的代数变形的处理办法. 不过,如果能找到最优的常数,就说明非最优情况的方法其实并不本质,或者说有些投机取巧甚至有编题痕迹(先射箭后画靶). 本题其实是能找到最优常数的. 究其本质,是“非负凸数列”一定能写成“基本非负凸数列”的非负系数线性组合. 这些基本的非负凸数列,在两个端点的值,以及中间点的中心差分,只能有一个是非零的,其余全是0. 只有这样,才能用它们来组合出一般情况的非负凸数列. (当然这里要依赖一些代数恒等式的证明,需要花些笔墨——但如果这是考题,那本身就是道硬题,一些麻烦的步骤也是无法避免的) 而本题的最优系数,也就来自于这些基本的非负凸数列带来的系数界当中哪个卡得最紧. 保证了这些数列满足要求,就能利用Minkowski不等式,以及内积的双线性性,推出一般的非负凸数列满足所需的不等式. 高等代数知识不是必须的,但其思想对本题的解决非常有影响. 如果没有高等思想的指引,本题难度将变得更大. 知识点: 初等:闵可夫斯基不等式、代数恒等变形 高等:线性组合、内积空间
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