为什么说勒贝格积分是黎曼积分的“Pro版” ？
视频内容简介：
积分最初用于计算曲线下面积，但传统方法对某些函数失效。这促使数学家伯纳德·黎曼在1868年提出严格定义：通过无限细分矩形面积逼近积分值。该方法虽对连续函数有效，却无法处理狄利克雷函数等特例——该函数在有理点取1、无理点取0，因实数轴上稠密分布的特性使矩形逼近失效。有趣的是，可构造一系列黎曼可积函数收敛于不可积的狄利克雷函数。
1902年亨利·勒贝格开创性地通过划分值域解决此难题：将函数值乘对应定义域测度求和。对于狄利克雷函数，利用有理数集零测度特性得其积分为零。勒贝格测度理论能精确量化各类集合的"长度"，使积分范围大幅扩展。其核心优势体现在完备的函数空间（如L²希尔伯特空间）中，确保极限与积分可交换，这对傅里叶分析、概率论和量子力学至关重要——如同实数完备化有理数系统，勒贝格积分构建了更强大的分析框架。
本视频翻译自：
https://www.youtube.com/watch?v=Fb2ei6lD-d8
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